Membuktikan rumus luas lingkaran

Teman-teman pembaca pasti saja sudah pernah mengetahui kan bagaimana rumus lingkaran itu. Pasti saja formula tersebut sudah dipelajari dari semenjak duduk di bangku sekolah dasar. Dulu, saya juga asal terima aja rumusnya, tanpa pernah berpikir dari mana asalnya. Pokoknya luasnya itu πr^2. Rumus dasar ini pasti mempunyai asal usul. Dulu, sekitar 2000 tahun yang lalu, Archimedes menghitung luas lingkaran dengan membuat lingkaran tersebut menjadi sebuah poligon-dalam dan poligon-luar beraturan. Nilai limit poligon dalam dan poligon luar harus sama. Semakin banyak sisi dari poligon tersebut, luasnya semakin mendekati luas lingkaran. Tetapi, dalam artikel ini saya akan membuktikan rumus luas lingkaran menggunakan konsep luas daerah di bawah kurva (dengan pengintegralan). 

Untuk memudahkan perhitungan, kita buat lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r. Telah kita ketahui pula bagaimana persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r. 

Untuk memudahkan perhitungan, kita gunakan konsep menghitung luas di kuadran I. 

Dengan menggunakan konsep limit jumlah Riemann, didapat integral seperti di atas. Eiitts, itu baru di kuadran I, untuk menghitung luas seluruhnya, perlu dikalikan 4 (perhatikan gambar di atas). Lalu, kita selesaikan integralnya dengan menggunakan teknik substitusi trigonometri.

Terbukti.